南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院：《高等代數(shù)》考試大綱


（一）多項(xiàng)式


考試內(nèi)容
數(shù)域；一元多項(xiàng)式；整除的概念及性質(zhì)；最大公因式及輾轉(zhuǎn)相除法；互素的概念及性質(zhì)；不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)；因式分解及唯一性定理。
考試要求
1.掌握數(shù)域、一元多項(xiàng)式的概念，了解一元多項(xiàng)式的運(yùn)算及性質(zhì)。
2.掌握多項(xiàng)式整除的概念，了解相關(guān)的性質(zhì)。
3.掌握最大公因式的概念，了解輾轉(zhuǎn)相除法。
4.理解互素的概念，掌握兩個(gè)一元多項(xiàng)式互素的充分必要條件。
5.了解不可約多項(xiàng)式的概念及其性質(zhì)。
6.了解一般系數(shù)的多項(xiàng)式的因式分解定理，掌握復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理。

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(八)λ-矩陣

考試內(nèi)容
λ-矩陣的概念；λ-矩陣的初等變換；λ-矩陣間的等價(jià)概念及等價(jià)的充分必要條件；λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；λ-矩陣的行列式因子、不變因子及兩者之間的關(guān)系；矩陣相似的條件；初等因子的概念；復(fù)方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。
考試要求
1.了解λ-矩陣的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩陣的初等變換、等價(jià)等概念，掌握判定λ-矩陣等價(jià)的充分必要條件。
3.會用初等變換求λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。
4.掌握λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念及三者之間的關(guān)系。
5.掌握兩個(gè)矩陣相似的充分必要條件。
6.了解復(fù)方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

(九)歐幾里德空間
考試內(nèi)容
內(nèi)積的定義及其性質(zhì)；歐幾里德空間的概念；正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化過程；正交矩陣；正交變換及其性質(zhì)；正交子空間、正交補(bǔ)及其性質(zhì)；實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣；歐幾里德空間的同構(gòu)。
考試要求
1.掌握線性空間內(nèi)積的概念及性質(zhì)，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。
2.理解正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法（施密特正交化過程），了解標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特殊表達(dá)。
3.掌握正交矩陣的概念及性質(zhì)，了解正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣之間的關(guān)系。
4.理解正交變換的概念及其性質(zhì)，了解正交變換和正交矩陣之間的關(guān)系。
5.理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。
6.熟悉實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，對給定的實(shí)對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
7.了解歐幾里德空間同構(gòu)的概念和性質(zhì)，了解有限維歐幾里德空間同構(gòu)的充分必要條件。

(九)歐幾里德空間
考試內(nèi)容
內(nèi)積的定義及其性質(zhì)；歐幾里德空間的概念；正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化過程；正交矩陣；正交變換及其性質(zhì)；正交子空間、正交補(bǔ)及其性質(zhì)；實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣；歐幾里德空間的同構(gòu)。
考試要求
1.掌握線性空間內(nèi)積的概念及性質(zhì)，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。
2.理解正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法（施密特正交化過程），了解標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特殊表達(dá)。
3.掌握正交矩陣的概念及性質(zhì)，了解正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣之間的關(guān)系。
4.理解正交變換的概念及其性質(zhì)，了解正交變換和正交矩陣之間的關(guān)系。
5.理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。
6.熟悉實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，對給定的實(shí)對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
7.了解歐幾里德空間同構(gòu)的概念和性質(zhì)，了解有限維歐幾里德空間同構(gòu)的充分必要條件。

(九)歐幾里德空間
考試內(nèi)容
內(nèi)積的定義及其性質(zhì)；歐幾里德空間的概念；正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化過程；正交矩陣；正交變換及其性質(zhì)；正交子空間、正交補(bǔ)及其性質(zhì)；實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣；歐幾里德空間的同構(gòu)。
考試要求
1.掌握線性空間內(nèi)積的概念及性質(zhì)，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。
2.理解正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法（施密特正交化過程），了解標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特殊表達(dá)。
3.掌握正交矩陣的概念及性質(zhì)，了解正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣之間的關(guān)系。
4.理解正交變換的概念及其性質(zhì)，了解正交變換和正交矩陣之間的關(guān)系。
5.理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。
6.熟悉實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，對給定的實(shí)對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
7.了解歐幾里德空間同構(gòu)的概念和性質(zhì)，了解有限維歐幾里德空間同構(gòu)的充分必要條件。

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